DC/DC开关变换器的无源控制方法

摘要：在一般动力学系统无源控制的基础上，以Buck变换器为例，建立了DC／DC开关变换器的Euler-Lagrange平均模型，推导出其无源控制策略，将无源控制方案成功应用到DC／DC开关变换器中，仿真结果表明，无源控制方案的变换器闭环系统对输入电源、负载扰动的瞬态响应特性均较为理想。

关键词：开关变换器;无源控制;Euler-Lagrange系统

引言

DC／DC开关变换器的控制方法一直是功率电子学专家研究的热点，由于DC／DC开关变换器本质上是一个强非线性系统，因而非线性控制方法尤为适合。近年来，功率电子学专家已经发展了许多DC／DC开关变换器的非线性控制方法，如滑模变结构方法、鲁棒控制方法、神经网络控制方法、自适应控制方法等。目前大多数非线性控制方法都有一个固有缺点，即算法较复杂，计算量大，不易在线软件实现，同时控制效果的优劣极大地依赖于开关变换器参数的精确程度，受系统参数影响很大。

最近，无源性控制方法得到了很大的发展，尤其在机器人控制领域。无源性控制方法具有许多良好的特性：它是基于能量的观点；是一种全局定义且全局稳定的控制策略，对系统参数变化及外来摄动有较强的鲁棒性；是一种本质上的非线性控制，且算法简单，易于实现。因而无源控制也同样引起了功率电子学专家们的注意，并将其应用到电动机控制中，而目前开关变换器的无源控制方法研究，在国内尚未见报道。本文以Buck变换器为例，从能量的角度建立了变换器的数学模型，给出了开关变换器无源控制方法的推导过程，并从理论上证明了其稳定性，同时给出了其在电源及负载扰动下的仿真结果，首次将无源控制方案成功地应用到DC／DC开关变换器中。

Buck变换器的EL模型

工作在CCM模式下的Buck变换器的平均化模型有如下形式


R，L，C，V_g，i_L，u_C如图1所示。

图1Buck变换器

本文将建立DC/DC开关变换器的Euler-Lagrange数学模型，以获得其无源控制策略。Euler-Lagrange方程实际是一个动力学的能量平衡方程式，具有如下一般形式

式中，q_p,Q_P∈Rⁿ，q_p表示各环节的位移或旋转角，而其速度或角速度可以用^.q_p来表示，这样一个动力学系统便可以用广义坐标(q_p,^.q_p)来描述。定义

式中L_P(q_p,^.q_p)——Lagrange能量函数
T_p(qp,^.qp)——各环节动能之和
V_p(q_p)——各环节势能之和
由此可见，Lagrange能量函数实际上表征了系统内部能量变化。
Q_p为外力之和，由两部分组成

式中u_p∈R^m——外界控制力信号
F_p(^.q_p)——Rayleigh耗散函数

下面以Buck变换器为例，从其物理意义出发，建立其Euler-Lagrange数学模型。考虑到开关S在一个工作周期的不同状态，需要分别讨论其Euler-Lagrange方程参数的确定。由于Euler-Lagrange方程的物理意义是一个能量平衡方程，我们选取流经电感及储存在电容上的电荷为基本变量，分别记为CL,q_c。显然，Lq&即电感电流，qC/C即电容电压，这样电感及电容上能量分别可表示为1/2L(^.q_p)²及1/2cq²_c，对应动力学系统Lagrange能量函数中的动、势能，描述系统内部能量。注意到，式（6）右侧两项实际上分别描述了外部作用力对系统总能量的影响，即所谓做功力（电源）及耗散力（消耗在电阻上能量），基于以上分析，有



综上所述


将式（9）中的参数直接代入式（4）有


检验等式两端，均具有电压量纲。将式（10）整理后得

若引入新的状态变量Z₁=^.q_L，Z₂=q_C/C，并将开关变量μ平均化，引入变量u，以变量u代替μ，则可以将式（11）改写为如下形式

式中

至此，我们建立了Buck变换器的Euler-Lagrange数学模型，将式（12）、式（13）与式（1）、式（2）对比可以发现变换器的Euler-Lagrange模型与其状态平均模型是一致的，这一特性对于其他类型的变换器是同样存在的。


无源控制方法

通常，DC／DC开关变换器的输出期望电压恒定，定义式（12）误差矢量

式中Z_d——变换器期望输出矢量由此得到系统误差状态方程

引入阻尼项

式中

这样，式（15）变为

假定式（18）右侧恒为零，即有

引入Lyapunov能量函数，使其具有如下形式

则

可见，式（19）定义的系统，其状态零点是全局渐近稳定点。也就是说，只要满足条件使得式（18）右侧恒为零，误差“零”点就是系统的固有稳定点，这样

由式（22）即得无源性控制律

这里，u的物理意义即开关占空比。

仿真研究

Buck变换器如图1所示，取元件参数L=400μH，C=40μF,R=20Ω，V_g=100V，开关频率100kHz，期望输出电压50V。图2、图4、图6分别给出了变换器在R₁=0.5Ω时的起动波形，输入电压扰动下的波形（t=500μs,V_g=60V；t=6.5ms,V_g=140V）及负载变化扰动下的波形（t=500μs,R=30Ω；t=8.5ms,R=10Ω）；图3、图5、图7则给出了R₁=4.5Ω时同样条件下的相应比较波形。从图中可以看到，阻尼项的选取与系统的动态特性有一定关系，如果阻尼项选择过小，则系统容易发生振荡，阻尼项选择较为合适时，系统动态性能明显改观。而无论阻尼项选取如何，系统都能在各种扰动情形下较快的回到额定工作点。

图2R₁=0.5时起动波形 图3R₁=4.5时起动波形

图4R₁=0.5时电源扰动波形图5R₁=4.5时电源扰动波形



图6 R₁=0.5时负载扰动波形图7 R₁=4.5时负载扰动波形



结论

开关变换器的无源控制方法是基于能量的控制策略，其理论基础实际上就是Lyapunov方法，从这个意义上说，无源控制策略应当是一种比较保守的控制方案，它追求系统的大范围稳定，即便在恶劣的情况下都能满足系统渐近稳定的控制目标。此外，从式（23）可以看出，本文给出的无源控制方法与传统的PI双环控制方法（电压、电流环）比较，只需检测一个状态变量，节约了检测电路，优于传统方法；而与其他非线性方案比较，又具有算法简单，易于实现，不受控制回路器件参数误差的影响，且易于推广到其他类型的DC／DC开关变换器等特点。以Buck变换器为例的仿真结果表明，本文的控制方案可以减少系统超调，缩短响应时间，改善系统的动态品质，是一种较为理想的控制方案。