基于小波变换的噪声消除算法研究

1 小波消噪的原理

一般地，有用信号通常表现为低频信号或是一些比较平稳的信号，而噪声信号则通常表现为高频信号。所以消噪过程主要进行以下处理：首先对原始信号进行小波分解，则噪声部分通常包含在高频系数中；然后对小波分解的高频系数以门限阈值等形式进行量化处理；最后再对信号重构即可达到消噪的目的。对信号消噪实质上是抑制信号中的无用部分，恢复信号中有用部分的过程。

设一个含噪声的一维信号的模型可以表示成如下形式：

s(i)=f(i)+σ·e(i)， i=0，1，…，n-1

其中，f(i)为真实信号，e(i)为噪声，s(i)为含噪声的信号。一般来说，一维信号的降噪过程可分为一维信号的小波分解，小波分解高频系数的阈值量化处理和一维小波的重构3个步骤。

小波能够消噪主要由于小波变换具有如下特点：

低熵性 小波系数的稀疏分布，使图像处理后的熵降低。

多分辨特性 由于采用了多分辨的方法，所以可以非常好地刻画信号的非平稳性，如突变和断点等，可以在不同分辨率下根据信号和噪声的分布来去除噪声。

去相关性 小波变换可对信号去相关，且噪声在变换后有白化趋势，所以小波域比时域更利于去噤。

基函数选择更灵活 小波变换可以灵活选择基函数，也可以根据信号特点和降噪要求选择多带小波、小波包等，对不同的场合，可以选择不同的小波基函数。

2 小波基函数的选择

信号降噪过程就是对信号的分解与组合重构的运算，其实质就是：通过小波变换对信号进行分解后，如果利用门限、阈值等形式对所分解的小波系数进行处理后再对信号进行重构。应该寻找一组最能代表信号特征的函数形式，将信号用这些量来逼近，或者写成这些量的线性组合形式。小波函数有无穷多个，故小波基也有无穷多组，因为不同的小波基具有不同的时频特征，用不同的小波基分析同一个问题会产生不同的结果。在应用中，要把握小波函数的特征，根据应用需要，选择合适的小波基。文献[2]对几种常用小波基函数的性质进行了比较。

在本文的应用中采用Daubechies(dbN)小波。Dau-bechies小波有非常重要的性质，他不仅是连续的和正交的，而且是支集最小的。因此这种小波的滤波器系数个数少，在分解与重构算法中所需的计算量少，这在信号的实时处理中非常重要。

Daubechies小波是由世界著名的小波分析学者InridDaubechies构造的小波函数，一般简写为dbN，N是小波的阶数。小波Ψ(t)和尺度函数φ(t)中的支撑区为2N-1，Ψ(t)的消失矩为N。除N=1外，dbN不具有对称性(即非线性相位)。dbN没有明确的表达式(除了N=1外)，但转换函数h的平方模是很明确的。

3 阈值处理方法

用Matlab进行小波降噪时，阈值处理方法有3种：

默认阈值消噪处理 该方法首先要得到信号的默认阈值，然后利用该阈值设置的门限对噪声信号进行消噪处理。

强制消噪处理 该方法是将小波分解结构中的高频系数全部置为0，即滤掉所有高频部分，然后对信号进行小波重构。这种方法比较简单，且消噪后的信号比较平滑，但是容易丢失信号中的有用成分。

给定阈值消噪处理 在实际的消噪过程中，阀值往往可通过经验获得，且这种阈值比默认值的可信度高，在进行闽值量化处理时可用函数wthresh。

在给定阈值消噪处理中，小波变换主要有以下4种阈值选取规则：

(1) 通用阀值规则(sqtwolog规则)

设含噪声信号f(x)经小波分解得到n个小波系数，噪声信号的均方差为σ，则通用阈值为：

(2) 无偏风险阈值规则(regrsure规则)

设W为一向量，其元素为小波分解系数的平方(由巴什瓦定理可知，小波分解系数的平方具有能量的量纲)，并按从小到大的顺序排列，即W=[W1，W2，…，Wn]，且W1≤W2…≤Wn，再设一风险向量R，其元素为：

以R元素中的最小值ra作为风险值，由ra的下标a求出对应的ωa，则阈值为：

(3) 混合型阈值规则(heursure规则)

n为小波系数的个数，σ为噪声的均方差，使用这种方法时，σ必须取一个很小的值，当σ≥1时将会出现一些意想不到的脉冲峰波。

在小波消噪过程中，无论选择那种阈值规则，都必须根据具体应用来选择一种合适的阈值来达到理想的去噪效果。

利用小波变换阈值来达到消噪目的也是目前的一个热点，文献[4]提出了基于多小波噪声方差阈值的信号滤波方法，该方法在噪声方差估计的基础上，对噪声信号变换系数进行处理，减小由噪声产生的系数，同时最大限度地保留有效信号产生的系数，最后由处理后的变换。文献[5]采用基于平均阈值的小波包去噪方法，通过对小波分解系数进行门限阈值处理，可以有效地抑制噪声，同时能够很好地重构信号。文献[5]在D.L.Dohono和I.M.Johnstone提出的多分辨分析小波阈值去噪方法的基础上，提出了一种新的阈值函数，仿真试验结果表明，采用这一阈值函数的去噪效果无论在视觉效果上，还是在信噪比增益上和最小均方误差意义上均优于传统的硬阈值和软阈值。并且，与传统的硬阈值和软阈值相比，此函数不仅表达式简单，易于计算，而且具有优越的数学特性：易于求导，有连续的无穷阶导数。

4 仿真实验

对小波去噪的仿真采用Matlab工具来完成，进行小波降噪时采用上述3种阈值处理方法中给定阈值消噪处理。

在实际的消噪过程中，阈值往往可通过经验公式获得，且这种阈值比默认值的可信度高。在进行阈值量化处理时可用函数wthresh。在仿真中采用db4小波对信号进行4层分解，使用函数appcoef获得低频系数(a4)，使用detcoef函数获得高频系数(d4，d3，d2，d1)，使用thselect函数采用极大极小原理(minimaxi)选择阈值(实验中所选阈值为2.033 4)并对高频系数进行软阈值量化处理。

仿真结果如图1～图3所示。

由实验知果可知采用小波消噪方法能获得原始信号的波形，由于采用了软阈值的处理方法，处理后信号产生了一定程度的能量损失，但基本能构造出原有用信号的波形轮廓。